Глобалистика и геополитика

Формы законов распределения дискретной случайной величины

Пусть – дискретная случайная величина, которая принимает значения , ,…, с некоторыми вероятностями , ,…, .

Наиболее простой формой закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения – таблица, в которой представлены возможные значения случайной величины и вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное значение:

Так как в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события , ,…, образуют полную группу несовместных событий, т.е. сумма их вероятностей равна 1:

.

Другой способ представления дискретной случайной величины – графическое представление ряда распределения – полигон (или многоугольник) распределения вероятностей. Для того, чтобы построить полигон распределения, надо по оси ОХ откладывать значения случайной величины, а по оси ОY – соответствующие вероятности.

Пример полигона распределения представлен на рисунке 1.

Рис.1.

Закон распределения случайной величины (дискретной или непрерывной) можно задать при помощи функции распределения

.

Значение функции распределения в точке есть вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

В случае дискретной случайной величины функция распределения является кусочно-непрерывной функцией

Пример графика функции распределения представлен на рисунке 2.

Рис. 2.

Пример 1. Дан ряд распределения случайной величины :

0,4 0,1 0,3 0,2

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Решение.

или

Рис. 3.

Пример 2. Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы:

а)

0,1 0,4 0,3 0,2

б)

0,1 0,2 0,3 0,5

Решение. Проверяем условие нормировки:

а) ,

б) .

В случае б) условие нормировки не выполняется, значит, данная таблица не задает закон распределения дискретной случайной величины.

Пример 3. Подбрасываются две монеты. Рассматривается случайная величина – число выпадений гербов на обеих монетах. Написать закон распределения вероятностей.

Решение. в результате опыта возможны следующие исходы: два герба, герб и решка или две решки. Соответственно случайная величина может принимать следующие значения:

0 – в случае, когда выпали две решки,

1 – в случае, когда на одной монете выпал герб, а на другой решка,

2 – в случае, когда выпали два герба.

Вероятность того, что выпали две решки, равна


,

герб и решка – ,

два герба – .

Таким образом, получаем ряд распределения:

Пример 4. Вероятностный прогноз для величины – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев – дан в виде закона распределения:

0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3% в месяц (36% годовых / 12 месяцев) составит через 6 месяцев ((1,03)6-1)∙100%=19,4%. Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

Пример 5. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден.ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден.ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден.ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины – чистого выигрыша на один билет – равны: 0-7=-7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200-7=193, 250-7=243, 5000-7=4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4, и 1, и, используя классическую формулу вероятностей, получим:

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

-7
0,990 0,005 0,004 0,001

#

Добавить комментарий